Dalam matematika aneka macam istilah yang perlu kita pahami. Salah satu dilema yang muncul, saat kita menemukan kasus pembagian suatu bilangan dengan nol, menyerupai beberapa pertanyaan berikut yang mungkin anda sendiri pernah mempertanyakannya, "Apakah hasil dari $\frac{1}{0}$ yaitu tak terdefinisi atau tak hingga?", "Bagaimana dengan $\frac{0}{0}$?", "Berapa nilai dari $tan{\frac{\pi}{2}}$ ?", "Apakah $\displaystyle\lim_{x\to 1}{\frac{1}{x-1}}=\infty$?" dan banyak pertanyaan lain terkait pembagian nol.
Baiklah, mari kita bahas beberapa istilah berikut yaitu Tak terdefinisi, tak hingga, dan tak tentu
Tak Terdefinisi (Undefined)
Sesuai namanya "tak terdefinisi" yaitu sesuatu yang tidak sanggup kita definisikan. Dalam matematika, banyak hal yang tidak terdefinisi (undefined) beberapa teladan diantaranya misalnya dalam geometri, kita sering mendengar dengan istilah "titik", namun tidak ada definisi yang menjelaskan apa itu titik. Contoh lain di luar geometri contohnya suatu fungsi $\displaystyle f(x)=\sqrt{x}$ tidak terdefinisi untuk $x$ negatif dengan $x$ anggota bilangan real dan $f(x)\in$ Real.
Dalam aritmetika, saat kita membagi suatu bilangan dengan nol, maka risikonya yaitu tidak terdefinisi (bukanlah tak hingga). Perhatikan ilustrasi berikut:
Kita tahu bahwa pembagian yaitu invers (balikan) dari perkalian, misal $\displaystyle\frac{a}{b}=c$ maka sanggup kita nyatakan $\displaystyle c\times b=a$.
Contoh, $\displaystyle\frac{18}{3}=6$ sanggup kita nyatakan $6 \times 3=18$
Namun, bagaimana dengan $\displaystyle\frac{18}{0}=x$, maka $x\times 0=18$, apakah ada nilai $x$ yang memenuhi? tentu saja jawabannya tidak. Oleh alasannya yaitu itu, berapapun bilangannnya (selain nol) bila dibagi dengan 0, maka tidak sanggup didefinisikan (tak terdefinisi).
Masalah pembagian dengan 0 ini, saya sarankan anda membaca salah satu artikel di mathforum.org mengenai division by zero atau klik disini
Istilah "Tak Hingga" atau "Tak Berhingga" atau "Tak Terhingga" merupakan istilah yang kita gunakan untuk menunjukkan suatu nilai yang amat sangat besar (positif tak hingga) atau suatu nilai yang amat sangat kecil (negatif tak hingga), meskipun demikian "tak hingga" bukanlah suatu bilangan (baik real maupun kompleks).
Tak sampai disimbolkan dengan $\displaystyle\infty$.
Dalam kalkulus, tak sampai $(\displaystyle\infty)$ sanggup kita perlakukan layaknya lambang suatu bilangan namun harus mengikuti beberapa hukum sebagai berikut:
Sama halnya menyerupai tak hingga, "bentuk tak tentu" bukanlah suatu bilangan.
Salah satu teladan bentuk tak tentu yaitu pembagian nol dengan nol $\displaystyle\left(\frac{0}{0}\right)$. Mungkin beberapa orang menerka bahwa nilai dari $\displaystyle\frac{0}{0}$ yaitu 1, lantaran pembilang dan penyebutnya sama. Namun, hal tersebut keliru. Karena $\displaystyle\frac{0}{0}$ tidak menghasilkan nilai tunggal, lantaran itu disebut sebagai bentuk tak tentu. Misal $\displaystyle\frac{0}{0}=k$ maka $0\times k=0$, persamaan $0\times k=0$ terpenuhi untuk sembarang nilai $k$ bilangan real, untuk itu $\displaystyle\frac{0}{0}$ tidak mempunyai solusi tunggal
Dalam kalkulus, dikenal beberapa bentuk tak tentu sebagai berikut:
Berikut ini beberapa dilema yang berkaitan dengan istilah tak terdefinisi, tak sampai dan tak tentu
1. Dalam Trigonometri
Saya eksklusif sering bertanya pada anak bimbing "Berapa nilai dari $\tan{90^\circ}$?". Banyak diantaranya yang menjawab "Tak hingga" ada juga yang menjawab "Tak terdifinisi". Menurut anda mana yang banar?
Nilai dari $\tan{90^\circ}$ yaitu tak terdefinisi. Perhatikan grafik dari $y=\tan{x}$ berikut ini:
$$\lim_{x\to 0^+}{\frac{1}{x-1}}=+\infty$$
Karena limit kiri tidak sama dengan limit kanan, maka $\displaystyle\lim_{x\to 1}{\frac{1}{x-1}}$ yaitu tidak terdefinisi, artinya limit tersebut tidak mempunyai penyelesaian.
$$\lim_{x\to 1^-}{\frac{1}{x-1}}\ne\lim_{x\to 1^+}{\frac{1}{x-1}}\Rightarrow \lim_{x\to 1}{\frac{1}{x-1}}=\text{Tak Terdefinisi}$$
untuk memastikan, perhatikan grafik $\displaystyle y=\frac{1}{x-1}$ berikut ini:
Contoh, $\displaystyle\frac{18}{3}=6$ sanggup kita nyatakan $6 \times 3=18$
Namun, bagaimana dengan $\displaystyle\frac{18}{0}=x$, maka $x\times 0=18$, apakah ada nilai $x$ yang memenuhi? tentu saja jawabannya tidak. Oleh alasannya yaitu itu, berapapun bilangannnya (selain nol) bila dibagi dengan 0, maka tidak sanggup didefinisikan (tak terdefinisi).
Masalah pembagian dengan 0 ini, saya sarankan anda membaca salah satu artikel di mathforum.org mengenai division by zero atau klik disini
Tak Hingga (Infinity)
Istilah "Tak Hingga" atau "Tak Berhingga" atau "Tak Terhingga" merupakan istilah yang kita gunakan untuk menunjukkan suatu nilai yang amat sangat besar (positif tak hingga) atau suatu nilai yang amat sangat kecil (negatif tak hingga), meskipun demikian "tak hingga" bukanlah suatu bilangan (baik real maupun kompleks).
Tak sampai disimbolkan dengan $\displaystyle\infty$.
Dalam kalkulus, tak sampai $(\displaystyle\infty)$ sanggup kita perlakukan layaknya lambang suatu bilangan namun harus mengikuti beberapa hukum sebagai berikut:
- $\displaystyle a+\infty=\infty$ untuk $a\in$ Bilangan Real
- $\displaystyle a-\infty=-\infty$ untuk $a\in$ Bilangan Real
- $\displaystyle a\times\infty=\infty$ untuk $a>0$ dan $a\in$ Bilangan Real
- $\displaystyle a\times(-\infty)=-\infty$ untuk $a>0$ dan $a\in$ Bilangan Real
- $\displaystyle a\times \infty=-\infty$ untuk $a\lt 0$ dan $a\in$ Bilangan Real
- $\displaystyle a\times (-\infty)=\infty$ untuk $a\lt 0$ dan $a\in$ Bilangan Real
- $\displaystyle 0+\infty=\infty$
- $\displaystyle 0-\infty=-\infty$
- $\displaystyle\frac{\infty}{a}=\infty$ untuk $a\gt 0$ dan $a\ne\infty$
- $\displaystyle\frac{-\infty}{a}=-\infty$ untuk $a\gt 0$ dan $a\ne \infty$
- $\displaystyle\frac{a}{\infty}=0$
Sebagai suplemen literatur, silakan baca ini .
Bentuk Tak Tentu (Indeterminate Form)
Sama halnya menyerupai tak hingga, "bentuk tak tentu" bukanlah suatu bilangan.
Salah satu teladan bentuk tak tentu yaitu pembagian nol dengan nol $\displaystyle\left(\frac{0}{0}\right)$. Mungkin beberapa orang menerka bahwa nilai dari $\displaystyle\frac{0}{0}$ yaitu 1, lantaran pembilang dan penyebutnya sama. Namun, hal tersebut keliru. Karena $\displaystyle\frac{0}{0}$ tidak menghasilkan nilai tunggal, lantaran itu disebut sebagai bentuk tak tentu. Misal $\displaystyle\frac{0}{0}=k$ maka $0\times k=0$, persamaan $0\times k=0$ terpenuhi untuk sembarang nilai $k$ bilangan real, untuk itu $\displaystyle\frac{0}{0}$ tidak mempunyai solusi tunggal
Dalam kalkulus, dikenal beberapa bentuk tak tentu sebagai berikut:
- $\displaystyle\frac{0}{0}$
- $\displaystyle\infty-\infty$
- $\displaystyle\frac{\infty}{\infty}$
- $\displaystyle 0\times \infty$
- $\displaystyle 0^0$
- $\displaystyle \infty^0$
- $\displaystyle 1^\infty$
Beberapa Masalah Terkait
Berikut ini beberapa dilema yang berkaitan dengan istilah tak terdefinisi, tak sampai dan tak tentu
1. Dalam Trigonometri
Saya eksklusif sering bertanya pada anak bimbing "Berapa nilai dari $\tan{90^\circ}$?". Banyak diantaranya yang menjawab "Tak hingga" ada juga yang menjawab "Tak terdifinisi". Menurut anda mana yang banar?
Nilai dari $\tan{90^\circ}$ yaitu tak terdefinisi. Perhatikan grafik dari $y=\tan{x}$ berikut ini:
Dari grafik $y=\tan{x}$ di atas, sanggup kita lihat bahwa kurva sama sekali tidak pernah menyentuh $x=\frac{\pi}{2}$, jadi tampak terang bahwa nilai dari $\tan{90^\circ}$ tak terdefinisi. Bahkan secara umum sanggup dikatakan sebagai berikut:
Dalam Trigonometri, $\tan{\theta}$, $\sec{\theta}$ tidak terdefinisi untuk $\theta=\left(n-\frac{1}{2}\right)\times 180^\circ$, dan $\cot{\theta}$ dan juga $\csc{\theta}$ tidak terdefinisi untuk $\theta=n\times 180^\circ$
2. Dalam Masalah Limit
Bagaimana bila saya bertanya berapakah nilai dari $\displaystyle\lim_{x\to 1}{\frac{1}{x-1}}$?
Jika balasan anda yaitu $\infty$ atau "tak hingga", maka balasan anda belum tepat.
Nilai suatu limit fungsi ada atau terdefinisi bila limit kiri nilainya sama dengan limit kanan.
Untuk kasus soal di atas, limit kiri fungsi tersebut yaitu negatif tak hingga, sanggup kita tulis:
$$\lim_{x\to 1^-}{\frac{1}{x-1}}=-\infty$$
Sementara limit kanan fungsi tersebut yaitu positif tak hingga, sanggup kita tulis:$$\lim_{x\to 0^+}{\frac{1}{x-1}}=+\infty$$
Karena limit kiri tidak sama dengan limit kanan, maka $\displaystyle\lim_{x\to 1}{\frac{1}{x-1}}$ yaitu tidak terdefinisi, artinya limit tersebut tidak mempunyai penyelesaian.
$$\lim_{x\to 1^-}{\frac{1}{x-1}}\ne\lim_{x\to 1^+}{\frac{1}{x-1}}\Rightarrow \lim_{x\to 1}{\frac{1}{x-1}}=\text{Tak Terdefinisi}$$
untuk memastikan, perhatikan grafik $\displaystyle y=\frac{1}{x-1}$ berikut ini:
Bisa kita lihat nilai untuk $x=1$ pendekatan dari kiri dan kanan tidaklah sama.
Jadi, tidak semua limit sanggup kita cari nilainya, kita harus memastikan apakah limit tersebut terdefinisi atau tidak.
Demikianlah dilema terkait istilah tak terdefinisi, tak hingga, dan tak tentu.
Artikel ini hanya ditulis oleh penulis yang sangat minim ilmu, jadi sebaiknya jangan jadikan goresan pena ini sebagai rujukan utama, silakan anda cari rujukan lain yang lebih terpercaya.
Semoga bermanfaat
Post a Comment
Post a Comment