Jurusan tiga angka yaitu memilih letak sebuah titik atau obyek yang diukur dari titik atau obyek yang lain, ukuran yang digunakan yaitu jarak (r) dan besar sudut ($\alpha$) yang diukur dari arah utara dan searah dengan jarum jam penulisan sudut memakai 3 digit (3 angka). Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar berikut:
Contoh 1:
Ujian Nasional (UN) Sekolah Menengan Atas Matematika IPA Tahun 2017 No. 28
Sebuah kapal berlayar dari pelabuhan A ke pelabuhan B dengan jurusan tiga angka $120^o$ sejauh 40 km, lalu berlayar menuju ke pelabuhan C dengan jurusan $240^o$ sejauh 80 km. Jarak antara pelabuhan C dan A yaitu ….
A. $20\sqrt{3}$ km
B. 40 km
C. $40\sqrt{3}$ km
D. $40\sqrt{5}$ km
E. $40\sqrt{7}$ km
Pembahasan:
Dari soal sanggup kita buat ilustrasi gambar sebagai berikut!
Aturan cosinus:
$\begin{align} {{b}^{2}} &= {{a}^{2}}+{{c}^{2}}-2ac.\cos B \\ &= {{80}^{2}}+{{40}^{2}}-2.40.80.\cos {{60}^{o}} \\ &= 6400+1600-6400.\frac{1}{2} \\ {{b}^{2}} &= 4800 \\ b &= \sqrt{4800} \\ &= \sqrt{1600x3} \\ b &= 40\sqrt{3} \end{align}$
Jawaban: C
Contoh 2:
Sebuah kapal berlayar dari pelabuhan A dengan arah $044^o$ sejauh 50 km. Kemudian berlayar lagi dengan arah $104^o$ sejauh 40 km ke pelabuhan C. Jarak pelabuhan A ke C yaitu … cm.
A. $10\sqrt95$
B. $10\sqrt91$
C. $10\sqrt85$
D. $10\sqrt71$
E. $10\sqrt61$
Pembahasan:
Perhatikan gambar denah rute kapal dari permasalahan di atas adalah:
$\angle UAB+\angle ABU'={{180}^{o}}$
${{44}^{o}}+\angle ABU'={{180}^{o}}$
$\angle ABU'={{180}^{o}}-{{44}^{o}}$
$\angle ABU'={{136}^{o}}$
$\angle ABC={{360}^{o}}-\angle ABU'-\angle U'BC$
$\angle ABC={{360}^{o}}-{{136}^{o}}-{{104}^{o}}$
$\angle ABC={{240}^{o}}=\angle B$
Dengan hukum cosinus:
Jarak Pelabuhan A ke Pelabuhan C yaitu AC = $b$ = …?
${{b}^{2}}={{a}^{2}}+{{c}^{2}}-2ac.\cos B$
${{b}^{2}}={{40}^{2}}+{{50}^{2}}-2.40.50.\cos {{120}^{o}}$
${{b}^{2}}=1600+2500-2.40.50.\left( -\frac{1}{2} \right)$
${{b}^{2}}=1600+2500+2000$
${{b}^{2}}=6100$
$b=\sqrt{6100}$
$b=\sqrt{100\times 61}$
$b=10\sqrt{61}$
Jadi, jarak pelabuhan A ke pelabuhan C yaitu $10\sqrt{61}$ km.
Jawaban: E
Contoh 3. UN 2016.
Sebuah kapal mulai bergerak dari pelabuhan A pada pukul 07.00 dengan arah $030^o$ dan datang di pelabuhan B sehabis 4 jam bergerak. Pukul 12.00 kapal bergerak kembali dari pelabuhan B menuju pelabuhan C dengan memutar haluan $150^o$ dan datang di pelabuhan C pukul 20.00. Kecepatan rata-rata kapal 50 mil/jam. Jarak tempuh kapal dari pelabuhan C ke pelabuhan A yaitu ...
A. $200\sqrt2$ mil
B. $200\sqrt3$ mil
C. $200\sqrt6$ mil
D. $200\sqrt7$ mil
E. 600 mil
Pembahasan:
Contoh 4. UN 2017
Sebuah kapal berlayar dari pelabuhan A ke pelabuhan B dengan jurusan tiga angka $130^o$ sejauh 20 km. Kemudian berlayar menuju ke pelabuhan C dengan jurusan tiga angka $250^o$ sejauh 40 km. Jarak antara pelabuhan C dan A yaitu ...
A. $10\sqrt3$ km
B. $10\sqrt5$ km
C. $20\sqrt3$ km
D. $20\sqrt5$ km
E. $20\sqrt7$ km
Pembahasan:
Contoh 5. UN 2017
Sebuah kapal berlayar dari pelabuhan A ke pelabuhan B dengan jurusan tiga angka $080^o$ sejauh 80 km. Kemudian berlayar menuju ke pelabuhan C dengan jurusan $200^o$ sejauh 60 km. Jarak antara pelabuhan C dan A yaitu ...
A. 10 km
B. $5\sqrt{13}$ km
C. $10\sqrt{13}$ km
D. $20\sqrt{13}$ km
E. 100 km.
Pembahasan:
Contoh 6.
Dua kapal R dan S berjarak 15 km. Kapal S letaknya pada arah $110^o$ dari R dan kapal T, $170^o$ dari R. Jika kapal T letaknya pada arah $245^o$ dari S, maka tentukan jarak kapal T dari kapal S.
Pembahasan:
Perhatikan gambar berikut!
Dari gambar sanggup kita peroleh:
$\begin{align} \angle SRT &=\angle ART-\angle ARS \\ &={{170}^{o}}-{{110}^{o}} \\ &={{60}^{o}} \end{align}$
$\angle BSR$ dan $\angle ARS$ yaitu sepasang sudut dalam sepihak, maka:
$\begin{align} \angle BSR + \angle ARS &={180}^{o} \\ \angle BSR + {110}^{o} &={180}^{o} \\ \angle BSR &= {70}^{o} \end{align}$
Contoh 1:
Ujian Nasional (UN) Sekolah Menengan Atas Matematika IPA Tahun 2017 No. 28
Sebuah kapal berlayar dari pelabuhan A ke pelabuhan B dengan jurusan tiga angka $120^o$ sejauh 40 km, lalu berlayar menuju ke pelabuhan C dengan jurusan $240^o$ sejauh 80 km. Jarak antara pelabuhan C dan A yaitu ….
A. $20\sqrt{3}$ km
B. 40 km
C. $40\sqrt{3}$ km
D. $40\sqrt{5}$ km
E. $40\sqrt{7}$ km
Pembahasan:
Dari soal sanggup kita buat ilustrasi gambar sebagai berikut!
Aturan cosinus:
$\begin{align} {{b}^{2}} &= {{a}^{2}}+{{c}^{2}}-2ac.\cos B \\ &= {{80}^{2}}+{{40}^{2}}-2.40.80.\cos {{60}^{o}} \\ &= 6400+1600-6400.\frac{1}{2} \\ {{b}^{2}} &= 4800 \\ b &= \sqrt{4800} \\ &= \sqrt{1600x3} \\ b &= 40\sqrt{3} \end{align}$
Jawaban: C
Contoh 2:
Sebuah kapal berlayar dari pelabuhan A dengan arah $044^o$ sejauh 50 km. Kemudian berlayar lagi dengan arah $104^o$ sejauh 40 km ke pelabuhan C. Jarak pelabuhan A ke C yaitu … cm.
A. $10\sqrt95$
B. $10\sqrt91$
C. $10\sqrt85$
D. $10\sqrt71$
E. $10\sqrt61$
Pembahasan:
Perhatikan gambar denah rute kapal dari permasalahan di atas adalah:
$\angle UAB+\angle ABU'={{180}^{o}}$
${{44}^{o}}+\angle ABU'={{180}^{o}}$
$\angle ABU'={{180}^{o}}-{{44}^{o}}$
$\angle ABU'={{136}^{o}}$
$\angle ABC={{360}^{o}}-\angle ABU'-\angle U'BC$
$\angle ABC={{360}^{o}}-{{136}^{o}}-{{104}^{o}}$
$\angle ABC={{240}^{o}}=\angle B$
Dengan hukum cosinus:
Jarak Pelabuhan A ke Pelabuhan C yaitu AC = $b$ = …?
${{b}^{2}}={{a}^{2}}+{{c}^{2}}-2ac.\cos B$
${{b}^{2}}={{40}^{2}}+{{50}^{2}}-2.40.50.\cos {{120}^{o}}$
${{b}^{2}}=1600+2500-2.40.50.\left( -\frac{1}{2} \right)$
${{b}^{2}}=1600+2500+2000$
${{b}^{2}}=6100$
$b=\sqrt{6100}$
$b=\sqrt{100\times 61}$
$b=10\sqrt{61}$
Jadi, jarak pelabuhan A ke pelabuhan C yaitu $10\sqrt{61}$ km.
Jawaban: E
Contoh 3. UN 2016.
Sebuah kapal mulai bergerak dari pelabuhan A pada pukul 07.00 dengan arah $030^o$ dan datang di pelabuhan B sehabis 4 jam bergerak. Pukul 12.00 kapal bergerak kembali dari pelabuhan B menuju pelabuhan C dengan memutar haluan $150^o$ dan datang di pelabuhan C pukul 20.00. Kecepatan rata-rata kapal 50 mil/jam. Jarak tempuh kapal dari pelabuhan C ke pelabuhan A yaitu ...
A. $200\sqrt2$ mil
B. $200\sqrt3$ mil
C. $200\sqrt6$ mil
D. $200\sqrt7$ mil
E. 600 mil
Pembahasan:
Contoh 4. UN 2017
Sebuah kapal berlayar dari pelabuhan A ke pelabuhan B dengan jurusan tiga angka $130^o$ sejauh 20 km. Kemudian berlayar menuju ke pelabuhan C dengan jurusan tiga angka $250^o$ sejauh 40 km. Jarak antara pelabuhan C dan A yaitu ...
A. $10\sqrt3$ km
B. $10\sqrt5$ km
C. $20\sqrt3$ km
D. $20\sqrt5$ km
E. $20\sqrt7$ km
Pembahasan:
Contoh 5. UN 2017
Sebuah kapal berlayar dari pelabuhan A ke pelabuhan B dengan jurusan tiga angka $080^o$ sejauh 80 km. Kemudian berlayar menuju ke pelabuhan C dengan jurusan $200^o$ sejauh 60 km. Jarak antara pelabuhan C dan A yaitu ...
A. 10 km
B. $5\sqrt{13}$ km
C. $10\sqrt{13}$ km
D. $20\sqrt{13}$ km
E. 100 km.
Pembahasan:
Contoh 6.
Dua kapal R dan S berjarak 15 km. Kapal S letaknya pada arah $110^o$ dari R dan kapal T, $170^o$ dari R. Jika kapal T letaknya pada arah $245^o$ dari S, maka tentukan jarak kapal T dari kapal S.
Pembahasan:
Perhatikan gambar berikut!
$\begin{align} \angle SRT &=\angle ART-\angle ARS \\ &={{170}^{o}}-{{110}^{o}} \\ &={{60}^{o}} \end{align}$
$\angle BSR$ dan $\angle ARS$ yaitu sepasang sudut dalam sepihak, maka:
$\begin{align} \angle BSR + \angle ARS &={180}^{o} \\ \angle BSR + {110}^{o} &={180}^{o} \\ \angle BSR &= {70}^{o} \end{align}$
$\begin{align} \angle RST &={{360}^{o}}-\angle BSR-\angle BST \\ &={{360}^{o}}-{{70}^{o}}-{{245}^{o}} \\ &={{45}^{o}} \end{align}$
$\begin{align} \angle RTS &={{180}^{o}}-\angle SRT-\angle RST \\ &={{180}^{o}}-{{60}^{o}}-{{45}^{o}} \\ &={{75}^{o}} \end{align}$
Karena kita akan memakai hukum sinus maka kita hitung terlebih dahulu $\sin {{75}^{o}}$.
$\begin{align} \sin {{75}^{o}} &=\sin ({{45}^{o}}+{{30}^{o}}) \\ & =\sin {{45}^{o}}.\cos {{30}^{o}}+\cos {{45}^{o}}.\sin {{30}^{o}} \\ & =\frac{1}{2}\sqrt{2}.\frac{1}{2}\sqrt{3}+\frac{1}{2}\sqrt{2}.\frac{1}{2} \\ & =\frac{1}{4}\left( \sqrt{6}+\sqrt{2} \right)
\end{align}$
Dengan Aturan Sinus:
$\begin{align} \frac{ST}{\sin \angle SRT} &=\frac{RS}{\sin \angle RTS} \\ \frac{ST}{\sin {{60}^{o}}} &=\frac{15}{\sin {{75}^{o}}} \\ \frac{ST}{\frac{1}{2}\sqrt{3}} &=\frac{15}{\frac{1}{4}\left( \sqrt{6}+\sqrt{2} \right)} \\ ST &=\frac{\frac{15\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{4}\left( \sqrt{6}+\sqrt{2} \right)} \\ ST &=\frac{30\sqrt{3}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}} \\ ST &=\frac{30\sqrt{3}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}\times \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}-\sqrt{2}} \\ ST &=\frac{90\sqrt{2}-30\sqrt{6}}{4} \\ ST &=\frac{1}{2}\left( 45\sqrt{2}-15\sqrt{6} \right)
\end{align}$
Karena kita akan memakai hukum sinus maka kita hitung terlebih dahulu $\sin {{75}^{o}}$.
$\begin{align} \sin {{75}^{o}} &=\sin ({{45}^{o}}+{{30}^{o}}) \\ & =\sin {{45}^{o}}.\cos {{30}^{o}}+\cos {{45}^{o}}.\sin {{30}^{o}} \\ & =\frac{1}{2}\sqrt{2}.\frac{1}{2}\sqrt{3}+\frac{1}{2}\sqrt{2}.\frac{1}{2} \\ & =\frac{1}{4}\left( \sqrt{6}+\sqrt{2} \right)
\end{align}$
Dengan Aturan Sinus:
$\begin{align} \frac{ST}{\sin \angle SRT} &=\frac{RS}{\sin \angle RTS} \\ \frac{ST}{\sin {{60}^{o}}} &=\frac{15}{\sin {{75}^{o}}} \\ \frac{ST}{\frac{1}{2}\sqrt{3}} &=\frac{15}{\frac{1}{4}\left( \sqrt{6}+\sqrt{2} \right)} \\ ST &=\frac{\frac{15\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{4}\left( \sqrt{6}+\sqrt{2} \right)} \\ ST &=\frac{30\sqrt{3}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}} \\ ST &=\frac{30\sqrt{3}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}\times \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}-\sqrt{2}} \\ ST &=\frac{90\sqrt{2}-30\sqrt{6}}{4} \\ ST &=\frac{1}{2}\left( 45\sqrt{2}-15\sqrt{6} \right)
\end{align}$
Post a Comment
Post a Comment